Tutorial de Comunicaciones Ópticas 
Tema II: Componentes de los Sistemas de C.O.

Interferómetro de Mach-Zehnder


1. Introducción
2. FSR (Rango Espectral Libre o Free Spectral Range),FWHM y Finura
3. Filtros MZI en Cascada
     · Aplicación interactiva
4. Referencias


1. Introducción

El esquema de un filtro de Mach-Zehnder, está compuesto por dos acopladores de -3dB y dos tramos de fibra de diferente longitud, uno de L + y otro L . El substrato utilizado es normalmente silicio y las regiones de la guía de ondas son de SiO2 , el cual tiene un elevado índice de refracción.

Figura 1. Esquema de un Filtro Mach-Zehnder

Para describir el funcionamiento del MZI, vamos a considerar que opera como un demultiplexor, es decir, utiliza una única entrada, en este caso la Entrada 1. Las explicaciones siguientes se harán tomando como referencia la Figura 1.

Si se le aplica una señal de entrada al filtro MZI, al llegar ésta al primer acoplador direccional, su potencia se divide por igual entre el brazo de arriba (de longitud L ) y el de abajo (de longitud L+ ). Pero la señal en uno de los brazos experimenta un salto de fase de /2 con respecto al otro. Concretamente, la señal que se acopla al brazo de arriba no sufre ningún cambio, sin embargo la parte de la señal que se acopla al brazo de abajo sufre un cambio de fase de /2 . Tras propagarse a lo largo de los brazos, las señales llegan al segundo acoplador direccional. En este punto, la señal que se propaga por el brazo de abajo experimenta un desfase adicional de , debido a la diferencia de longitud entre los dos caminos. Para la Salida 1, la señal procedente del brazo de abajo sufre otro retraso de fase de /2 respecto a la señal que se transmite por el brazo de arriba, de esto modo la diferencia de fase relativa total entre las dos señales en la Salida 1 es de /2 + + /2 . Sin embargo para la Salida 2, la señal transmitida por el brazo de arriba sufre un cambio de fase de /2 , quedando una diferencia de fase relativa total entre las dos señales de /2 + - /2 = .

Si se considera = k y k impar, las señales en la Salida 1 se añaden en fase. Por ejemplo, si k =3, la diferencia de fase entre las señales es 3 + = 4, con lo cual al final están en fase. Por otro lado, en la Salida 2 las señales se añaden en oposición de fase, es decir con una diferencia de fase igual a , cancelándose entre ellas. Se deduce de todo esto, que las señales que pasan de la Entrada 1 a la Salida 1 son las que tienen un = k siendo k impar y las señales que pasan de la Entrada 1 a la Salida 2, son las que tienen un = k siendo k par [RaSi98].

La respuesta en frecuencia óptica que cumple lo expuesto hasta ahora es la siguiente

[3.1]

donde .

representa la función de transferencia de la Entrada 1 a la Salida 1, y representa la función de transferencia entre la Entrada 1 y la Salida 2.

La representación de la ecuación [3.1] se pueden observar en las Figuras 2 y 3. Comparando las dos funciones se aprecia el impacto del desfase que hay entre y .

Figura 2. Función de transferencia en la salida Seno,

Figura 3. Función de transferencia en la salida Coseno,


2. FSR (Rango Espectral Libre o Free Spectral Range), FWHM, Finura

Al igual que la función de transferencia del filtro de Fabry-Perot, este filtro también tiene una respuesta periódica, sin embargo su característica es sinusoidal. En este caso la ecuación del Rango Espectral Libre (FSR) es
[3.2]

siendo ( = Índice de refracción, = Diferencia de longitud, c = Velocidad de la luz en el vacío).

Para este filtro, el FWHM se calcula de forma analítica, aunque de diferente forma dependiendo de la salida escogida.

 

•  FWHM para la salida seno

Figura 4. Representación seno

Como se aprecia en la función anterior, lo que se pretende es obtener primero f1 y f2 , para luego calcular el FWHM . f1 y f2 son las frecuencias para las cuales la función vale - 3dB con respecto al máximo. Entonces se tiene:

si se define

se obtiene

entonces

una vez que se dispone de estas dos frecuencias, el FWHM es:

•  FWHM para la salida coseno

Figura 5. Representación coseno

En primer lugar, al igual que para la salida seno, se calcula la frecuencia para la cual la función vale - 3dB con respecto al máximo. En este caso se tiene:

siendo

por lo tanto

y como se puede apreciar en la Figura 5, ahora con multiplicar la frecuencia por dos, ya se obtiene el FWHM .

FWHM = 2f

Una vez obtenido el FWHM se puede calcular la Finura (F) de la siguiente forma:

En las Figuras 2 y 3, se observa que la función de transferencia no es tan selectiva como la del filtro de Fabry-Perot. Esto se explica cualitativamente, ya que la salida del interferómetro de Mach-Zehnder está compuesta por la interferencia entre dos señales, mientras en el caso del filtro de Fabry-Perot la señal de salida se obtiene a partir de la interferencia de infinitas señales.


3. Filtros MZI en Cascada

Para implementar filtros ópticos muy selectivos a partir de los filtros MZI , hay que intercalarlos en cascada. Para conseguir que sea muy selectivo se tiene que cumplir dos condiciones: En primer lugar todos los acopladores empleados en la implementación tienen que ser de 3 dB ( ). En segundo lugar, el periodo espectral de cada interferómetro ha de seguir una ley precisa. El primer interferómetro en colocarse es el de menor periodo espectral, que denominaremos . A continuación van colocándose interferómetros con periodos espectrales cada vez más grandes. Si el interferómetro colocado es i-ésimo lugar posee un periodo espectral dado por , entonces un filtro compuesto por una cascada de M filtros MZI posee una función de transferencia dada por [RaSi98]:
[3.3]

Para ello la diferencia de longitudes entre los brazos del interferómetro i-ésimo ha de ser , donde es la diferencia de longitud entre los brazos del primer interferómetro.

En la figura siguiente se muestra un filtro en cascada MZI que cumple la ecuación [3.3].

Figura 6. Cascada de filtros MZI

A continuación, se van a representar las funciones de transferencia de los filtros por separado y en cascada, tanto para la salida seno como coseno, con el objetivo de ver cómo influye cada uno de ellos en la respuesta final. Algo a tener muy en cuenta, es donde caen los ceros de la función de transferencia de cada filtro, ya que van a determinar los canales que se van anular. Las representaciones se harán con los siguientes parámetros:

•  Índice de refracción equivalente: 1.5 para todos los filtros.

•  Diferencia de longitud entre los brazos: 1 = ,2 = /2, 3 = /4 y 4 = /8 , siendo = 999,308 µm.

•  Salida Seno

La función de transferencia para la salida seno es

En el primer filtro se tiene = 999,308 µm, por lo tanto

pudiéndose comprobar en la Figura 7 y matemáticamente que para las frecuencias: 192,4 THz, 192,6 THz, 192,8 THz, 193,0 THz, etc, esta función se hace nula.

Frecuencia = 192,4 THz; (·192,4 THz / 200 GHz) = 0

Frecuencia = 192,8 THz; ( ·192,8 THz / 200 GHz) = 0

Frecuencia = 193,2 THz; (·193,2 THz / 200 GHz) = 0

Figura 7. FT para el primer filtro en cascada

La diferencia de longitud del segundo filtro es 2 = 499,654 µm, obteniéndose

En este caso los nulos caen en las frecuencias: 192,4 THz, 192,8 THz, 193,2 THz, 193,6 THz, etc, como se aprecia en la Figura 23

Frecuencia = 192,4 THz; ( ·192,4 THz / 400 GHz) = 0

Frecuencia = 192,8 THz; ( ·192,8 THz / 400 GHz) = 0

Frecuencia = 193,2 THz; ( ·193,2 THz / 400 GHz) = 0

Frecuencia = 193,6 THz; ( ·193,6 THz / 400 GHz) = 0

Figura 8. FT para el segundo filtro en cascada

En el tercer filtro 3 = 249,827 µm, entonces

En este caso los nulos caen en las frecuencias: 192,8 THz, 193,6 THz, etc.

Frecuencia = 192,8 THz; ( ·192,8 THz / 800 GHz) = 0

Frecuencia = 193,6 THz; ( ·193,6 THz / 800 GHz) = 0

Figura 9. FT para el tercer filtro en cascada

El cuarto filtro tiene 4 = 124.913 µm, quedando

En este caso los nulos caen en las frecuencias: 193,6 THz, etc.

Frecuencia = 193,6 THz; ( ·193,6 THz / 1600 GHz) = 0

Figura 10. FT para el cuarto filtro en cascada

Como función resultante se obtiene la Figura 11.

Figura 11. FT a la salida de la cascada de filtros

Según va pasando la señal por los distintos filtros, estos añaden una atenuación y unos ceros en la respuesta final. Lo ideal es que estos ceros coincidan con los canales que se pretenden eliminar y así dejar sólo el canal deseado. Pero en este caso, caen varios ceros en un mismo canal y sin embargo otros no se consiguen eliminar. Como se puede apreciar en la función siguiente, no se obtiene un lóbulo principal sin perdidas, es decir, los canales filtrados van a tener siempre una atenuación.

Figura 12. Representación de todas las FT. Rojo: primer filtro en cascada, verde: segundo filtro en cascada, azul: tercer filtro en cascada, amarillo: cuarto filtro en cascada y violeta: función de transferencia total.

Figura 13. Señal a la salida del filtro en cascada

•  Salida Coseno

La función de transferencia para la salida coseno es

Para el primer filtro ya que = 999,308µm. Las frecuencias que se anulan son: 192,5 THz, 192,7 THz, 192,9 THz, etc

Frecuencia = 192,5 THz; ( ·192,5 THz / 200 GHz) = 0

Frecuencia = 192,7 THz; ( ·192,7 THz / 200 GHz) = 0

Frecuencia = 193,0 THz; ( ·193,0 THz / 200 GHz) = 0

Figura 14. FT para el primer filtro en cascada

En el segundo filtro , ya que 2 = 499,654 µm, las frecuencias que se anulan son: 192,6 THz, 193,0 THz, 193,4 THz, etc.

Frecuencia = 192,6 THz; ( ·192,6 THz / 400 GHz) = 0

Frecuencia = 193,0 THz; ( ·193,0 THz / 400 GHz) = 0

Frecuencia = 193,4 THz; ( ·193,4 THz / 400 GHz) = 0

Figura 15. FT para el segundo filtro en cascada

En el tercer filtro , donde 3= 249,827 µm. En este caso los nulos caen en las frecuencias: 192,4 THz, 193,2 THz, etc.

Frecuencia = 192,4 THz; ( ·192,4 THz / 800 GHz) = 0

Frecuencia = 193,2 THz; ( ·193,2 THz / 800 GHz) = 0

Figura 16. FT para el tercer filtro en cascada

En el cuarto filtro y la 4= 124,913 µm. En este caso los nulos caen en las frecuencias: 192,8 THz, etc.

Frecuencia = 192,8 THz; ( ·192,8 THz / 1600 GHz) = 0

Figura 17. FT para el cuarto filtro en cascada

Para la salida coseno, tenemos un lóbulo principal sin perdidas por el cual se filtra el canal deseado, el resto de canales son atenuados, ya que la función de transferencia tiene un nulo a esas frecuencias. En la Figura siguiente se puede apreciar la representación para la salida coseno.

Figura 18. FT a la salida de la cascada de filtros

En la Figura 19 se puede ver, también, que el filtro en cascada es más selectivo que un único filtro MZI .

Figura 19. Representación de todas las FT. Rojo: primer filtro en cascada, verde: segundo filtro en cascada, azul: tercer filtro en cascada, amarillo: cuarto filtro en cascada y violeta: función de transferencia total.

Figura 20. Canales filtrados a la salida

Si no se cumpliera la relación 1 = ,2 = /2, 3 = /4 y 4 = /8, la función de transferencia resultante no tendría la forma adecuada para filtrar un único canal. Un ejemplo de esto se muestran en la figura siguiente, en la cual los valores son: 1 = ,2 = /3, 3 = /4 y 4 = /8.

Figura 21. FT para un filtro en cascada con los parámetros 1 = ,2 = /3, 3 = /4 y 4 = /8.

En este caso, tenemos el mismo efecto que en el ejemplo de la salida seno. En la Figura 22 se muestran todas las funciones de transferencia juntas, la de color violeta es la respuesta final del filtro en cascada.

Figura 22. FTs de los filtros en cascada con los parámetros D L 1 = D L, D L 2 = D L/3, D L 3 = D L/4 y D L 4 = D L/8.

Al igual que en filtro de Fabry-Perot la banda útil del filtro MZI es la correspondiente a un único periodo espectral.

 

Aplicación interactiva

En la siguiente aplicación, se puede estudiar el comportamiento de un MZI o de cuatro en cascada. De este modo, variando los parámetros del filtro se puede observar como varía su función de transferencia.

 

4. Referencias
 

[RaSi98]  R. Ramaswami y K.N. Sivarajan.
 Optical Networks: A practical Perspective. 
 The Morgan Kaufmann Series in Networking. Morgan Kaufmann  Publishers, Inc. San Francisco, 1998.
[CaFrMa99]

J. Capmany, F.J. Fraile-Peláez, J. Martí.
Dispositivos de Comunicaciones Ópticas
Ed. Síntesis, 1999.

[Mu97]

B. Mukherjee
Optical Communication Networks
McGraw-Hill, 1997

[BoJuRaMu97]

M.S. Borella, J.P. Jue, D. Banerjee, B. Ramamurthy, B. Mukherjee
Optical Components for WDM Lightwave Networks” , Proceedings of the IEEE , Vol. 85, No. 8, pp. 1274-1307
Ago. 1997

[StBa00]

T.E. Stern, K. Bala
Multiwavelength Optical Networks: A Layered Approach
Prentice-Hall, PTR, 2000

[Gr93]

P.E. Green, Jr.
Fiber Optic Networks
Prentice-Hall, 1993